Bihar Board Class 9Th Mathematics chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Solutions | Bseb class 9Th Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Notes
Bihar Board Class 9Th Mathematics chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Solutions | Bseb class 9Th Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Notes
प्रश्न- 1.5.m लंबा, 1.25m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए :
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल ।
(ii) इसी शीट का मूल्य, यदि 1m² शीट का मूल्य 20 रुपए है।
उत्तर— हल : दिया है, लम्बाई 1 = 1.5m, चौड़ाई, b = 1.25 m और गहराई = ऊँचाई, h = 65cm = 0.65m,
(i) चूंकि प्लास्टिक का डिब्बा ऊपर से खुला है, अतः ऐसे डिब्बे को बनाने के लिए आवश्यक शीट
= [2 (I + b) x h + Ib]m²
= [2(1.5 + 1.25) x 0.65 + 1.5 x 1.25]m²
= [2 x 2.75 x 0.65 + 1.875]m²
= [3.75 + 1.875)m² = 5.45m²
(ii) 1m² शीट का मूल्य = 20 रु०
∴ 5.45m² शीट की कुल कीमत = ( 5.45 x 20 ) रु० = 109 रु०.
प्रश्न- किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेट से 225cm x 10cm x 7.5cm विमाओं वाली कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं ?
उत्तर— हल: एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2{22.5/100 x 10/100 + 10/100 x 7.5/100 x 22.5/100}m²
= 2 x 1/100 x 1/100 (22.5 x 10 + 10 x 7.5 + 7.5 x 22.5)m²
= 1/5000 x (225 + 75 + 168.75) cm²
= 1/5000 x 468.75 m² = 0.09375 m²
वह क्षेत्रफल जिसके लिए पेंट पर्याप्त है = 9.375.m²
∴ उपलब्ध पेंट से रंगी जा सकने वाली ईंटों की संख्या = 9.375/0.09375 = 100
प्रश्न- ऊँचाई 14cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए ।
उत्तर— हल: माना आधार की त्रिज्या r है और h = 14 cm बेलन की ऊँचाई है l
तब, वक्रीय पृष्ठ या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
⇒ 88 = 2 x 22/7 x r x 14 = r = 88 x 7 / 2 x 22 x 14 = 1
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 x 1 = 2cm.
प्रश्न- एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और उसकी तिर्यक ऊँचाई 10cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
उत्तर— हल : यहाँ π = {10.5 / 2} cm = 5.25 और I = 10.
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (πrl ) cm²
= {22 / 7 x 2.25 x 10} cm² = 165 cm²
प्रश्न- एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21m है और आधार का व्यास 24m है।
उत्तर— हल : यहाँ {24 / 2} cm = 12m और I = 21m
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (πrl + πr²) m² = πr (I + r) m²
= 22/7 x 12 x (21 + 12) m²
= 1243.44 m² (लगभग)
प्रश्न- निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) 10.5cm (ii) 5.6 cm (iii) 14 cm
उत्तर— हल : (i) दिया है r = गोले की त्रिज्या = 10.5cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= {4 x 22/7 x 10.5 x 10.5} cm² = 1386 cm²
(ii) दिया है: r = गोले की त्रिज्या = 5.6cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= {4 x 22/7 x 5.6 x 5.6} cm² = 394.24 cm²
(iii) दिया है : r = गोले की त्रिज्या = 14 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = {4 x 22/7 x 14 x 14} cm² = 2464 cm²
प्रश्न- निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) 14 cm (ii) 21 cm (iii) 3.5 cm
उत्तर— Sol. (i) यहाँ r = {14/2} cm = 7 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= {4 x 22/7 x 7 x 7}cm² = 616 cm²
(ii) छात्र स्वयं करें (iii) छात्र स्वयं करें।
प्रश्न- 10cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, ज्ञात कीजिए। ( π = 3.14 लीजिए ।)
उत्तर— हल : यहाँ r = 10 cm
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
= (3 x 3.14 x 10 x 10) cm² = 942 cm²
प्रश्न- एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर— हल : माना r1 : और, r2 दोनों स्थितियों में गुब्बारे की त्रिज्याएँ हैं ।
यहाँ r1 = 7 cm और r2 = 14cm
∴ उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात
= 4πr1² / 4πr2² = 7 x 7 / 14 x 14 = 1/4
इस प्रकार, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात: = 1 : 4
प्रश्न- माचिस की डिब्बी के माप 4 cm x 2.5 cm x 1.5cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
उत्तर— हल : यहाँ I = 4cm, b = 2.5 cm और h = 1.5cm
∴ एक माचिस की डिब्बी का आयतन = I × b × h cm3
= (4 × 2.5 × 1.5) cm³ = 15 cm³
∴12 डिब्बियों को रखने के लिए पैकेट का आयतन = (12 × 15) cm³ = 180 cm³.
प्रश्न- एक घनाभाकार पानी की टंकी 6m लंबी, 5m चौड़ी और 4.5. गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1 m’ = ? (1m³ = 10001)
उत्तर— हल : यहाँ I = 6m, b = 5m और h = 4.5m
टंकी का आयतन = lbh m³ = (6 × 5 × 4.5) m³ = 135m³
टंकी की जलग्रहण क्षमता = 135 x 100 लीटर
= 135000 लीटर जल । [∴ 1m³ = 1000 I ]
प्रश्न- 8m लंबा, 6m चौड़ा और 3m गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपए प्रति m³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए l
उत्तर— हल : यहाँ, I = 8m, b = 6m और h = 3m
गड्ढे का आयतन = Ibh m³
= (8 × 6 × 3) m³ = 144 m³
खुदाई की दर 30 रु० प्रति घन मीटर
∴ गड्ढे की खुदाई में होने वाला व्यय = ( 144 × 30 ) रु० = 4320 रु०.
प्रश्न- एक धनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5m और 10m हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर— हल : यहाँ, लम्बाई = 2.5m गहराई = 10m
और आयतन = 50000 लीटर
= {50000 x 1/1000}m³ = 50m³ [∴ 1m³ = 1000 I ]
ऊँचाई = घनाभ का आयतन / लम्बाई x चौड़ाई = {50 / 2.5 x 10} m = 2m
प्रश्न- एक बेलनाकार वर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है । इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 cm³ =1 लीटर)
उत्तर— हल : माना r cm आधार की त्रिज्या और h cm बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई। आधार की परिधि = 132cm
= 2πr = 132 ⇒ 2 x 22/7 x r = 132
⇒ r = {132 x 7 / 2 x 22}⁷ cm = 21 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr² hcm³
= {22/7 x 21 x 21 x 25} cm³ = 34650 cn³
∴ पात्र की जलग्रहण क्षमता = {34650 / 1000}
लीटर अर्थात् 34. 65 लीटर जल ।
प्रश्न- एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
उत्तर— हल : (i) टिन के डिब्बे की धारिता = lbh cm³
= (5 × 4 ×15) cm³ = 300 cm³
(ii) प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे की धारिता
= πr² hcm³ = {22/7 x 7/2 x 7/2 x 10} cm³
= 385 cm³
इस प्रकार, प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे की धारिता 85 cm³ अधिक है।
प्रश्न- उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी (i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है । (ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
उत्तर— हल : (i) यहाँ, r = 6 cm और h = 7 cm
शंकु का आयतन कुस = 1/3 πr²h
(ii) यहाँ, r = 3.5 cm और h = 12
शंकु का आयतन = 1/3 πr²h
= {1/3 x 22/7 x 35 x 35 x 12}cm³ = 154 cm³
प्रश्न- यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए ।
उत्तर— हल : यहाँ, h = 9cm और आतयन 48 π cm³ माना, शंकु के आधार की त्रिज्या rcm है ।
आयतन् = 48π cm³
⇒ 1/3πr²h = 48π ⇒ 1/3 x r² x 9 = 48
⇒ 3r² = 48 ⇒ r² = 48/3 = 16
= r = √16 = 4
अतः शंकु के आधार का व्यास = 8cm.
प्रश्न- भुजाओं 5cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर— हल : समकोण ΔABC का AB (=12 cm) भुजा की ओर घूमने पर हमें चित्रानुसार एक शंकु प्राप्त होता है।
इस प्रकार बने ठोस का आयतन = 1/3 πr²h
= {1/3 x π x 25 x 12} cm³ = 100π cm³
प्रश्न- उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i) 7 cm (ii) 0.63m
उत्तर— हल : (i) दिया है : r गोले की त्रिज्या = 7 cm
∴ गोले का आयतन = 4/3 πr³
= {4/3 x 22/7 x 7 x 7}cm³ = 4312/3 cm³ = 1437 1/3 cm³
(ii) दिया है : r = गोले की त्रिज्या = 0.63m
∴ गोले का आयतन = 4/3 πr³
= {4/3 x 22/7 x 0.63 x 0.63 x 0.63} cm³ = 1.0t m³ (लगभग)
प्रश्न- धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए ।
उत्तर— हल : गेंद का व्यास = 4.2cm
त्रिज्या = {4.2 / 2} cm = 2.1 cm गेंद का आयतन = 4/3 πr³
= {4/3 x 22/7 x 21 x 21 x 21} cm³ = 38.808 cm³
धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन cm है ।
∴ गेंद का द्रव्यमान = ( 38.808 × 8.9) ग्राम = 345.3912 ग्राम
प्रश्न- 1. एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका चक्र क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
उत्तर— हल : माना कि गोले का व्यास d है। तब इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल
=4π {d/2}² = πd²
इसके व्यास को 25% घटाने पर नया व्यास,
d1 = {75 / 100 x d} = 3d/4
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π {d1/2}² = 4π {1/2 x 3d/4}²
= 4π {9d²/64} = nd² , 9/16
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी = πd² {1 – 9/16} = πd² {7/16}
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी प्रतिशत
= {πd² x 7/16 x 1/πd² x 100}% = {700/16}% = 43.75
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