Bihar Board Class 9Th Mathematics chapter 2 बहुपद Solutions | Bseb class 9Th Chapter 2 बहुपद Notes
Bihar Board Class 9Th Mathematics chapter 2 बहुपद Solutions | Bseb class 9Th Chapter 2 बहुपद Notes
प्रश्न- निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7 (ii) y² + √2 (iii) 3√ t + t √2
(iv) y + 2/y (v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
उत्तर— हल (i) इस समीकरण 4x² – 3x +7 में x के सभी घात पूर्णांक हैं। इसलिए यह एक चर का बहुपद है।
(ii) y² + √2 में y की घात पूर्णांक है। अतः यह एक चर y का बहुपद है।
(iii) 3√t + t√2 = 3t½ + √2t, यहाँ पर पहले पद का घात 1/2 कि पूर्णांक नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है
(iv) y + 2/y = y + 2y –¹, यहाँ दूसरे पद का घात -1 है जो पूर्णांक नहीं है। अतः यह बहुपद नहीं है ।
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰ यहाँ x, y, t मानक रूप में है । अतः यह एक नहीं तीन चर वाला बहुपद है।
प्रश्न- निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए :
(i) 2 + x² + x (ii) 2 – x² + x³ (iii) π/2 x² + x (iv) √2x – 1
उत्तर— हल : x² के गुणांक (i) 1 (ii) – 1 (iii) π/2 (iv) 0
बहुपद के घात (Degree) से आप क्या समझते हैं ?
यदि P (x) एक बहुपद है तो x का उच्चतम घातांक (Power) इस बहुपद का घात कहलाता है। जैसे—
P (x) = 3x² – 5x + 2x⁵ + 6 का घात 5 होगा क्योंकि x का उच्चतम घात 5 है जो कि 2x⁵ में है।
रैखिक बहुपद : एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं l
प्रश्न- 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक. उदाहरण दीजिए।
उत्तर— हल : (i) 35 घात वाला द्विपद बहुपद = x³⁵ + 4x
(ii) 100 घात वाला एक पद = 5 x¹⁰⁰
प्रश्न- निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³ + 4x² + 7x (ii) 4 – y² (iii) 5t – √7
(iv) 3
उत्तर— हल : (i) 3 (ii) 2 (iii) 1 (iv) 0
प्रश्न- निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² +3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0 (ii) x = −1
उत्तर— हल दिया है : p(x) = 5x – 4x² + 3
(i) x = 0 पर : p (0) = 5 (0) −4 (0)² + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
(ii) x = -1 पर : P(−1) = 5(−1) – 4 (-1)² +3
= -5 – 4 + 3 = -6
Hints : जब बहुपद में x = 0 या x का कोई भी मान दे तो पूरे बहुपद में x के जगह वो मान रखकर उसे solve कर दें।
प्रश्न- निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p (1) और p (2) ज्ञात कीजिए:
(i) p (y) = y² – y +1 (ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
उत्तर— हल : (i) दिया है : p(y) =y² – y + 1
p(0) = (0)² – 0 + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
p(1) = (1)² – 1 + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
p(2) = (2)² – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
(ii) छात्र स्वयं करें ।
प्रश्न- सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :
(i) p(x) = 3x + 1; x = – 1/3 (ii) p(x) = 5x – 4; x = 4/5
उत्तर— हल : (i) दिया है : p(x) = 3x + 1
= -1/3 पर, P {-2/3} = 3 {-1/3} + 1 = -1 + 1 = 0
∴ -1/3 p(x) का शून्यांक है।
(ii) दिया है : p(x) = 5x – 4
x = 4/5 पर p {4/5} = 5 {4/5} – 4 = 4 – 4 = 0
∴ 4/5 p(x) का शून्यांक है ।
प्रश्न- निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए ।
(i) p(x) = x + 5 (ii) p(x) = x – 5 (iii) p(x) = 2x + 5
उत्तर— हल : (i) हमें हल करना है p(x) = 0
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
∴ -5 बहुपद x + 5 का शून्यांक है ।
(ii) हमें ज्ञात है p(x) = 0
⇒ x – 5 = 0 ⇒ x = 5
(iii) 2x + 5 = 0 ⇒ x = -5/2
प्रश्न- गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² − 7x + 1 (ii) 2x² + 7x + 3
उत्तर— हल : (i) :: 12x² – 7x +1 = 12x² – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1(3x – 1) = (3x – 1) (4x – 1)
(ii) यहाँ p + q = x का गुणांक = 7
pq = x² का गुणांक x स्थिर पद
= 2 x 3 = 6
∴ p + q = 7 = 1 + 6
और pq = 6 = 1 x 6
∴ 2x² + 7x + 3 = 2x² + x + 6x + 3
= x(2x + 1) + 3 (2x + 1), = (2x + 1) (x + 3)
प्रश्न- गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 2x² – x + 2
उत्तर— हल : माना कि P(x) = x³ – 2x² – x + 2
हम अपने मन से x = 1 लेके देखते हैं ।
P(1) = (1)³ – 2. (1)² −1 + 2
= 1 – 2 – 1 + 2 = 0 :: P(1) = 0
अतः गुणनखंड प्रमेय से (x – 1), P (x) का एक गुणनखंड होगा ।
अब, x – 1) x³ – 2x² – x + 2 (x² – x – 2
x³ – x²
– +
———
– x² – x
– x² + x
–
———–
-2x + 2
-2x + 2
————
x x x
अतः x³ -2x² – x + 2 = (x−1)(x² – x – 2)
अब आप x² – x – 2 को गुणनखंड निकाल लें।
x² – x – 2 =x² – 2x + x – 2
= x (x – 2) +1 (x – 2)
= (x + 1 ) (x – 2 )
∴ P (x) = (x – 1)(x + 1 ) (x – 2 )
प्रश्न- निम्न सभी सर्व समिकाओं को अच्छी तरह से याद करें।
उत्तर— I. (a + b)² = a² + b² + 2ab
II. (a – b)² = a² + b² – 2ab
III. a² – b² = (a + b) (a – b)
IV. (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
V. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
VI. (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy (x + y)
VII. (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)
VIII. x³ + y³ + 3 – 3xyz = (x + y + z)
(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
प्रश्न- सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 x 107
उत्तर— हल : (i) 103 x 107 = (100 + 3) (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) (100) + 3 x 7
= 100 x 100 + (10) (100) + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021
प्रश्न- उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 9x² + 6xy + y²
उत्तर— हल : (i) 9x² + 6xy + y² = (3x)² + 2(3x) (y) + (y)²
= (3x + y)² = (3x + y) (3x + y)
प्रश्न- उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)² (ii) (2x – y + z)²
उत्तर— हल : (i) (x + 2y + 4z)²
= x² + (2y)² + (4z)² + 2 (x) (2y) + 2(2y) (4z) + 2 (4z) (x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx
(ii) (2x – y + z)² = [2x + (-y) + z]²
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx
प्रश्न- निम्नलिखित धनों को प्रसारित रूप में लिखिए:
(iii) [3/2 x + 1]³
उत्तर— हल :
(iii) [3/2 x + 1]³ = (3/2 x)³ + 3 (3/2 x )² (1)² + 1³
= 27/8 x³ + 27/4 x² + 9/2 x + 1
प्रश्न- उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³ (ii) (102)³
उत्तर— हल : (i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 29700 = 970299
(ii) (102)³ = (100 + 2) ³
= (100)³ + (2)³ + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 61200 = 1061208
प्रश्न- निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
उत्तर— हल : (i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a)³ + (b)³ + 3 (2a)(b) (2a + b) = (2a + b)³
= (2a + b) (2a + b) (2a – b)
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3 (2a) (b) (2a – b) = (2a – b)³
= (2a – b) (2a – b) (2a – b)
प्रश्न- सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
उत्तर— हल : (i) बायाँ पक्ष = (x + y) (x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y(x² – xy + y²)
= x³ – x² y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = दायाँ पक्ष ।
प्रश्न- गुणनखंडन कीजिए: 27x³ +y³ + z³ – 9xyz
उत्तर— 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3(3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) y – yz – z (3x)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)
प्रश्न- यदि x + y + z = 0 हो , तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz हैl
उत्तर— हल : दिया है, x + y + z = 0
= x + y = -z
दोनों पक्षों को घन करने पर
(x + y)³ = (-z)³
= x³ + y³ + 3xy (x + y) = -z³
= x³ + y³ – 3xyz = -z³ [:: x + y = -z]
= x³ + y³ + z³ = 3xyz, अतः सिद्ध हुआ ।
हमसे जुड़ें, हमें फॉलो करे ..
- Telegram ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Facebook पर फॉलो करे – Click Here
- Facebook ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Google News ज्वाइन करे – Click Here