Bihar Secondary School Sample Paper Solved | BSEB Class 10th Sample Sets with Answers | Bihar Board class 10th Sample Paper Solved | Bihar Board Class 10th mathematics Sample set – 5
Bihar Secondary School Sample Paper Solved | BSEB Class 10th Sample Sets with Answers | Bihar Board class 10th Sample Paper Solved | Bihar Board Class 10th mathematics Sample set – 5
1. यदि दो संख्याओं के ल० स० एवं म०स० समान हो तो वे सामान्य संख्याएँ होंगी
(A) अभाज्य संख्याएँ
(B) योगरूद संख्याएँ
(C) समान संख्याएँ
(D) सह-अभाज्य संख्याएँ
2. n घात वाले किसी बहुपद में शून्यकों की अधिकतम संख्या होती है
(A) n
(B) n2
(C) n + 1
(D) n – 1
3. द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल वास्तविक एवं समान होने पर
(A) D > 0 होगा
(B) D < 0 होगा
(C) D = 0 होगा
(D) इनमें से कोई नहीं
4. दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात 4 : 7 है, उनकी माध्यिकाओं का अनुपात होगा
(A) 16 : 49
(B) 49 :16
(C) 7 : 4
(D) 4 : 7
5. एक गुब्बारे की ऊँचाई क्या होगी यदि धागे की लम्बाई 100 मीटर है उनका उन्नयन कोण 30° है।
(A) 45 मी
(B) 30 मी
(C) 50 मी
(D) 90 मी
6. एक वृत्ताकार वलय की भीतरी एवं बाहरी त्रिज्या क्रमशः 7 सेमी एवं 10 सेमी है, वलय का क्षेत्रफल होगा
(A) 49 π cm2
(B) 3 π cm2
(C) 17 π cm2
(D) 51π cm2
7. ‘r’ त्रिज्या वाले एक ठोस अर्द्धगोले से काटे गए बड़े से बड़े शंकु का आयतन होगा
(A) 3 πr2
(B) πr3/ 3
(C) πr3 / 3
(D) 3 πr3
8. Cos3 20° – cos3 70° / sin3 70° – sin3 20° का मान है
(A) 2
(B) 1/√2
(C) 1/2
(D) इनमें से कोई नहीं
9. ΔABC में ∠B = 90° BC = 6 सेमी, AB = 8 सेमी है। ΔABC के अन्तःवृत्त की त्रिज्या होगी
(A) 1 सेमी
(B) 2 सेमी
(C) 3 सेमी
(D) 4 सेमी
10. एक थैला में 5 उजली एवं 7 लाल गोलियाँ हैं। लाल गोली के निकालने की प्रायिकता क्या है ?
(A) 8 / 12
(B) 7 / 12
(C) 5 / 7
(D) 7 / 5
11. यदि द्विघात बहुपद x2 – 4x + 2 के शून्यक α, β हों तो αβ-1 + βα-1 का मान होगा
(A) 2
(B) 4
(C) 3
(D) 6
12. सभी समबाहु त्रिभुज होते हैं
(A) समरूप
(B) सर्वांगसम
(C) समानुपाती
(D) इनमें से कोई नहीं
13. दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात x2 : y2 है। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात
(A) x : y
(B) y : x
(C) x2 : y2
(D) y2 : x2
14. द्विघात समीकरण 2x2 – 5 x + 3 = 0 के मूलों के योगफल एवं गुणनफल का अनुपात है
(A) 2 : 3
(B) 3 : 2
(C) 5 : 3
(D) 3 : 5
15. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कहलाती है
(A) त्रिज्या
(B) व्यास
(C) चाप
(D) परिधि
16. त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप है
(A) ax3 + bx2 + cx + d
(B) ax2 + bx2 + + c
(C) ax4 + bx3 + c
(D) ax2 + bx + c
17. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं ?
(A) 30
(B) 31
(C) 33
(D) 28
18. यदि बिन्दुएँ A ( 2, 3), B ( 5, k) एवं C (6, 7)संरेख हों तो k का मान होगा
(A) -3
(B) 2
(C) 4
(D) 6
19. यदि किसी आँकड़े में बहुलक एवं माध्यिका का अन्तर 24 है तो माध्यिका एवं माध्य का अन्तर होगा
(A) 12
(B) 8
(C) 24
(D) 13
20. यदि sin 65° = a तथा cos 65° = b तो a2 + b2 का मान क्या होगा
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
21. (xn + 1) का एक गुणक ( x + 1) है तो ‘n’ निश्चित रूप से होगा
(A) एक विषम पूर्णांक
(B) एक सम पूर्णांक
(C) एक ऋणात्मक पूर्णांक
(D) एक धनात्मक पूर्णांक
22. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है। तो निम्नलिखित में से कौन सत्य है ?
(A) AB2 = 2AC2
(B) AC2 = 2AB2
(C) BC2 = 2AC2
(D) इनमें से कोई नहीं
23. ‘m’ के किस मान के लिए – 4, बहुपद x2 – x – (2m + 2) का एक – शून्यक है ?
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 5
24. (1 – cos4θ) बराबर है
(A) cos2 θ (1 – cos2 θ)
(B) sin2θ(1 + cos2θ)
(C) sin2 θ (1 – sin2 θ)
(D) sin2 θ (1 + sin2 θ)
25. y- अक्ष से 5 इकाई दायीं ओर x – अक्ष पर एक बिन्दु P स्थित है। P का निर्देशांक है
(A) (5, 0)
(B) (0, 5)
(C) (5, 5)
(D) (-5, 5)
26. tan θ + sin θ = p और tan θ– sin θ = q, तो p2 – q2 बराबर है
(A) √pq
(B) √p/q
(C) 4√pq
(D) 4√p/q
27. यदि sin θ = √2 cos θ हो तो sec θ का मान होगा
(A) 1/√3
(B) √3
(C) √3/2
(D) 2/√3
28. x2 1 – px + p = 10 के मूलों का गुणनफल – 4 हो, तो p का मान होगा
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
29. पाँच संख्याओं का माध्य 18 है। यदि एक संख्या हटा दी जाय तो है। हटाई गई संख्या क्या होगी ?
(A) 16
(B) 18
(C) 24
(D) 26
30. समबाहु ΔABC में यदि AD ⊥ BC हो तो AB2 / AD2 का मान होगा
(A) 3/4
(B) 4/3
(C) 1/3
(D) 2/1
31. समीकरण (x – 2) (x + 2) = 5 के मूल निम्नलिखित में से कौन है ?
(A) 2, – 2
(B) 3 – 3
(C) 4, – 4
(D) इनमें से कोई नहीं
32. k के किस मान के लिए समीकरण x + 2 y = 7 एवं 2x + ky = 14 संपाती होगा ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) इनमें से कोई नहीं
33. एक पहिये का व्यास 4 मी है। 400 चक्कर में तय की गई दूरी है
(A) 1600m
(B) 800m
(C) 1600 π m
(D) 800 π m
34. k के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म 2x – y = 3 एवं 2kx + 7y – 5 = 0 का एक मात्र हल x = 1, y = −1 है ?
(A) 5
(B) 4
(C) 6
(D) -6
35. किसी ΔABC में, AD, ∠A का समद्विभाजक है। यदि BD = 5 सेमी एवं BC = 7.5 सेमी है तो AB/AC का मान होगा
(A) 1
(B) 2
(C) 0.8
(D) 0.6
36. यदि h ऊँचाई तथा r त्रिज्या वाले एक ठोस वेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल उसके कुल पृष्ठ क्षेत्रफल का एक तिहाई है, तो
(A) h = 1 / 3 r
(B) h = 1 / 2 r
(C) h = r
(D) h = 2r
37. एक आदमी 24 मीटर पश्चिम जाता है, पुनः वह 10 मीटर उत्तर जाता है। अब वह अपने प्रारंभिक बिन्दु से कितनी दूरी पर है?
(A) 25 मी
(B) 26 मी
(C) 27 मी
(D) 30 मी
38. सबसे छोटी भाज्य संख्या एवं सबसे छोटी अभाज्य संख्या का गुणनफल होता है
(A) 10
(B) 6
(C) 8
(D) 12
39. बिन्दु (3, 4) किस चतुर्थांश में है ?
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ
40. एक जीवा एवं संगत चाप से घिरे क्षेत्र को कहते हैं
(A) त्रिज्यखंड
(B) वृत्तखंड
(C) अर्द्धवृत्त
(D) चतुर्थांश
41. किसका मान 1 से अधिक है ?
(A) sin 46°
(B) cos 30°
(C) tan 25°
(D) tan 48°
42. इनमें से किसका मान सबसे अधिक है ?
(A) cos 90°
(B) sin 30°
(C) cos 45°
(D) tan 45°
43. इनमें से कौन केन्द्रीय प्रवृति की माप नहीं है ?
(A) माध्य
(B) माध्यिका
(C) बहुलक
(D) इनमें से कोई नहीं
44. वर्ग अन्तराल (a – b) का वर्ग चिह्न है—
(A) a + b
(B) 1/2 (a – b)
(C) 1/2 ( a + b)
(D) a – b
45. ΔABC में ∠A = 90° तो B के लिए आधार होगा
(A) AB
(B) BC
(C) AC
(D) इनमें से कोई नहीं
46. त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक उसकी माध्यिका हो, तो वह त्रिभुज होगा
(A) समबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) विषमबाहु
(D) इनमें सभी
47. समरूप त्रिभुज होते हैं
(A) न्यूनकोणिक
(B) समद्विबाहु
(C) समान कोणिक
(D) इनमें से कोई नहीं
48. यदि बहुपद 6x3– 11x2 – 3x + 2 के शून्यक α, β एवं y हो तो αβ + BY + γα का मान होगा
(A) 6/11
(B) -11/6
(C) -1/2
(D) 1/3
49. यदि 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 हो तो
(A) x = 2, y = 4
(B) x = -2, y = -5
(C) x = -3, y = 1
(D) x = -2, y = 5
50. रेखा y = 4 का आलेख निम्न में से किस बिन्दु से होकर गुजरेगा ?
(A) (4, 2)
(B) (2, 4)
(C) (4, 0)
(D) इनमें से कोई नहीं
51. यदि a एवं b अभाज्य संख्याएँ हों तो ल०स० (a, b) होगा
(A) a
(B) b
(C) ab
(D) 1
52. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेणी है ?
(A) 12, 52, 72, 72…
(B) √2, √8, √18, √32,…
(C) -10, -16, -2, 2,…
(D) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,…
53. 21, 18, 15, … का कौन-सा पद शून्य है ?
(A) 6ठा
(B) 7वाँ
(C) 8वाँ
(D) 9वाँ
54. – 10, – 6, – 2, 2,… 34 में पदों की संख्या है
(A) 15
(B) 12
(C) 13
(D) 14
55. यदि AP का प्रथम पद a, अंतिम पद I एवं पदों की संख्या ‘n’ हो तो ‘n’ पदों का योगफल होगा
(A) n/2 (a – 1)
(B) n/2 (a + 1)
(C) n/2 (I – a)
(D) इनमें से कोई नहीं
56. एक पासा को उछालने पर सम संख्या आने की प्रायिकता होगी
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/6
57. असंभव घटना की प्रायिकता होगी
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2
58. y- अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु का x नियामक क्या होगा ?
(A) शून्य
(B) y
(C) x
(D) इनमें से कोई नहीं
59. y-अक्ष पर बिन्दुओं (5, – 9) और (− 3, 2) से समदूरस्थ बिन्दु हैं
(A) (0, 2)
(B) (-2, 0)
(C) (0, -2)
(D) इनमें से कोई नहीं
60. दो बैलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 4:5 है और उनकी उँचाइयों का अनुपात 5 : 3 है तो आयतनों का अनुपात होगा
(A) 27 : 20
(B) 16 :15
(C) 4 : 9
(D) 9 : 4
प्रश्न- दो घनों जिनमें प्रत्येक का आयतन 64 सेमी3 है, के संलग्न फलकों को जोड़कर एक घनाभ बनाया जाता है। घनाभ का पृष्टीय क्षेत्रफल ज्ञात करें ।
उत्तर– दोनों घनों में प्रत्येक का आयतन = 64 cm3
∴ प्रत्येक घन का किनारा = 3√आयतन = 3√64 = 4cm
दोनों घनों को जोड़कर बनाये गए घनाभ की लम्बाई = 4 + 4 = 8cm
चौड़ाई = 4cm, ऊँचाई = 4cm
∴ परिणामी घनाभ का पृष्टीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)
= 2(8 × 4 + 4 × 4 + 8 × 4)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2 x 80 = 160 cm2; Ans.
प्रश्न- अभाज्य गुणनखंड विधि से 96 और 404 का H.C.F एवं LCM ज्ञात करें।
उत्तर– 96 = 2 x 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 25 x 3
404 = 2 × 2 ×101 = 22 ×101
∴ 96 एवं 404 का म०स० = 22 = 4
ल०स० = 96 x 404 / 4 = 9696
इस प्रकार म०स० = 4, ल०स० = 9696; Ans.
प्रश्न- वह समांतर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 5वाँ पद 15 तथा तीसरे और आठवें पदों का योगफल 34 है।
उत्तर– ∴ Tn = a +(n – 1)d
∴ T3 = a + (3 – 1)d = a + 2d
T5 = a + (5 – 1)d = a + 4d
T8 = a + (8 – 1)d = a + 7d
प्रश्नानुसार,. T5 = 15
∴ a + 4d = 15
एवं T3 + T8 = 34
⇒ a + 2d + a + 7d = 34
⇒ 2a + 9d = 34
अब समीकरण (i) में 2 गुणाकर, समीकरण (ii) में से घटाने पर,
2a + 9d = 34
2a + 8d = 30
– – –
———————
d = 4
समीकरण (i) में d का मान रखने पर,
a + 4d = 15
⇒ a + 4 x 4 = 15
∴ a = 15 – 16 = -1
∴ समान्तर श्रेणी — a, a + d, a x 2d, a + 3d,…
⇒ -1, -1 + 4, -1 + 2 x 4, -1 + 3 x 4,…
⇒ -1, 3, 7,11,…; Ans
प्रश्न- यदि α, β किसी द्विघात बहुपद 4x2 – 4x + 1 के शून्यक हों, तो α/β + β/α का मान ज्ञात करें।
उत्तर– माना कि f(x) = 4x2 – 4x + 1
यहाँ a = 4, b = -4, c = 1
∴ α + β = -b/a = -(-4)/4 = 4/4 = 1, α · β = c/a = 1/4
∴ α/β + β/α = a2 + B2 /αβ = (a + B)2 – 2aB / αβ
= (1)2– 2 x 1/4 / 1/4 = 1 – 1/2 / 1/4 = 1/2 x 4/2 = 2
∴ α/β + β/α = 2; Ans.
प्रश्न- किसी त्रिभुज के दो शीर्ष ( 3, 5) और (-7, 4) हैं। यदि इसके केन्द्रक का नियामक (2, – 1) है, तो तीसरे शीर्ष का नियामक ज्ञात करें ।
उत्तर–
माना कि ΔABC के शीर्ष बिन्दुओं के निर्देशांक A ( – 3, 5 ), B(- 7, 4) एवं C (x, y ) है।
दिया है कि केन्द्रक का निर्देशांक G(2, – 1) है।
केन्द्रक G का x निर्देशांक
= x1+ x2 + x3 / 3
⇒ 2 = 3 + (-7) + x / 3
∴ x = 6 + 4 = 10
इसी प्रकार G काy निर्देशांक = y1 + y2 + y3 / 3
⇒ -1 = -5 + 4 + y / 3 = -3 = -1 + y
∴ y = 1 -3 = -2
अतः शीर्ष बिन्दु C का निर्देशांक = (x, y) = (10, – 2); Ans.
प्रश्न- ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। त्रिभुज के अन्दर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह भुजा AB को E, BC को D तथा AC को F पर स्पर्श करती है। दिखाएँ कि D, भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
उत्तर– चूँकि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
∴ AE = AF …(i)
BE = BD …(ii)
तथा CD = CF …(iii)
समीकरण (i), (ii) एवं (iii) को जोड़ने पर,
(AE + BE) + CD = (AF + CF) + BD
⇒ AB + CD = AC + BD
⇒ AB + CD = AB + BD [AB = AC, दिया गया है।]
∴ CD = BD
अतः D, BC का मध्य बिन्दु होगा; Proved.
प्रश्न- किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S तथा T भुजाओं PQ तथा PR पर इस प्रकार है कि PS/SQ = PT/TR तथा ∠PST = ∠PRQ, तो सिद्ध करें कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर–
चूँकि दिया गया है कि ΔPQR में
PS/SQ = PT/TR
∴ थेल्स प्रमेय के विलोम से,
ST ΙΙ QR होगा |
अब, चूँकि ST ΙΙ OR
∴ ∠PST = ∠PQR. … (i) संगत कोण
परन्तु दिया गया है कि
∠PST = ∠PRQ
∴ ∠PQR = ∠PRQ [समीकरण (i) एवं (ii)]
अतः ΔPQR में ∠PQR = ∠PRQ
⇒ PR = PQ
(त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।)
∴ ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा; Proved.
प्रश्न- जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या ‘n’ के लिए (4)n का मान अंक 0 पर समाप्त हो सकता है।
उत्तर– चूँकि 4n = ( 2 x 2)n, यहाँ अभाज्य गुणनखंड ( 2 x 2) है। किसी संख्या का अन्त शून्य में होगा तो वह 5 से विभाज्य होगी। अर्थात् 4n के गुणनखंड में अभाज्य संख्या 5 होनी चाहिए, किन्तु ऐसा नहीं है। साथ ही अंकगणित के आधारभूत प्रमेय से 4n का दूसरा गुणनखंड नहीं हो सकता है। अतः 4n के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 है, इसलिए 4n अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकता है ।
प्रश्न- किसी समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || CD है तथा विकर्ण AC एवं BD एक दूसरे को बिन्दु ‘O’ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो ΔAOB एवं ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।
उत्तर– दिया गया है—
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, DC || AB
तथा AB = 2DC है ।
ΔAOB एवं ΔCOD में,
∠AOB = ∠COD
(शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB = ∠OCD
(एकान्तर कोण, क्योंकि DC || AB है।)
∴ AOB ~ COD (AA समरूपता से)
∴ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है ।
∴ ar(ΔAOB) / ar(ΔCOD) = AB2 / DC2 = (2DC)2 / DC2 = 4/1
अत: ar (ΔAOB) : ar (ΔCOD) = 4 : 1 Ans.
प्रश्न- द्विघात समीकरण 3x2 – 2√6x + 2 = 0 को गुणनखंड विधि से हल करें।
उत्तर– 3x2 – 2√6x + 2 = 0
⇒ 3x2 – √6x – √6x + 2 = 0
⇒ 3x2 – √2 · √3x + √2 · √2 = 0
⇒ √3x (√3x – √2) – √2 (√3x – √2) = 0
⇒ (√3x – √2) (√3x – √2) = 0
⇒ √3x = √2 या √3x = √2
∴ x = √2/√3 या x = √2 / √3
अभीष्ट हल = {√2/√3, √2 / √3}; Ans.
प्रश्न- एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 8.4 सेमी है तथा आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी है। उस गोले की त्रिज्या ज्ञात करें जिसका आयतन शंकु के आयतन के बराबर है।
उत्तर– शंकु की ऊँचाई (h) = 8.4cm
त्रिज्या (r) = 2.1cm
माना कि गोले की त्रिज्या = R cm
प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = शंकु का आयतन
⇒ 4/3πR3 = 1/3πr2h
⇒ 4/3R3 = 1/3 x 2.1 x 2.1 x 8.4
⇒ 4R3 = 2.1 x 2.1 x 2.1 x 4
⇒ R3 = 2.1 x 2.1 x 2.1 x 4 / 4
⇒ R3 = (2.1)3 ∴ R = 2.1cm
अतः गोले की त्रिज्या = 2.1cm; Ans.
प्रश्न- दो संख्याओं का योगफल 1000 तथा उनके वर्गों का अन्तर 256000 है, तो संख्याएँ ज्ञात करें ।
उत्तर– माना कि पहली संख्या x एवं दूसरी संख्या y है, जहाँ x > y
प्रश्नानुसार,. x + y = 1000
तथा x2 – y2 = 256000
⇒ (x + y) (x – y) = 256000
⇒ 1000(x – y) = 256000
∴ x – y = 256
समीकरण (i) एवं (ii) को जोड़ने पर,
x + y + x – y = 1000 + 256
⇒ 2x = 1256 :: x = 1256/2 = 628
अब ‘x’ का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + y = 1000
⇒ 628 + y = 1000
∴ y = 1000 – 628 = 372
इस प्रकार पहली संख्या = x = 628
एवं दूसरी संख्या = y = 372; Ans.
प्रश्न- तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। कम से कम दो शीर्ष (Head) आने की प्रायिकता ज्ञात करें ।
उत्तर– प्रश्नानुसार तीन सिक्कों को एक साथ उछालने पर, कुल संभावनाएँ हैं—
HHH, HHT, HTT, THH, THT, HTH, TTT, TTH
कुल परिणामों की संख्या = 8
अब कम से कम दो शीर्ष (Heads) आने की संभावनाएँ = 4
अत: P (कम से कम दो शीर्ष) = 4/8 = 1/2; Ans.
प्रश्न- यदि बिन्दु (x, y), दो बिन्दुओं (7, 1) एवं ( 3, 5) से समदूरस्थ हो, तो x और y में एक संबंध स्थापित करें।
उत्तर– प्रश्नानुसार बिन्दु P(x, y), बिन्दुओं 4 (7, 1) एवं B(3, 5) से समदूरस्थ है।
∴ PA = PB
⇒ PA2 = PB2
⇒ (x – 7)2 + (y – 1)2 = (x – 3)2 + (y – 5)2
⇒ x2 – 14 x + 49 + y2 – 2y + 1
⇒ x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25
⇒ -14x – 2y + 50 = -6x – 10y + 34
⇒ -14x – 2y + 6x + 10y = 34 – 50
⇒ -8x + 8y = -16
⇒ -8(x – y) = -8 x 2
⇒ x – y = 2 :: x = y + 2; Ans
प्रश्न- बहुपद 6x2 – 7x – 3 का शून्यक ज्ञात करें तथा इसके शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच करें।
उत्तर– माना कि f (x) = 6x2 – 7x – 3
शून्यक ज्ञात करने के लिए, f (x) = 0
⇒ 6x2 – 7x – 3 = 0
⇒ 6x2 – 9x + 2x – 3 = 0
⇒ 3x(2x – 3) (3x + 1) = 0
⇒ 2x – 3 = 0 या 3x + 1 = 0
∴ x = 3/2 या x = -1/3
मान लिया कि α = 3/2 एवं β = -1/3
∴α + β = 3/2 + -1/3 = 9 – 2/6 = 7/6 = -(-7)/6
= -(x का गुणांक) / x2 का गुणांक = -b/a
α · β = 3/2 x -1/3 = -3/6 = अचर पद/x2 का गुणांक = c/a ; Proved.
प्रश्न- यदि tan θ = a/b हो, तो a sin θ/ a sin θ + b cos θ का मान ज्ञात करें।
उत्तर– दिया है कि. tan θ = a/b
अतः a sin θ – b cos θ / a sinθ + b cosθ= a sinθ / cos θ – b cos θ / cos θ / a sin θ / cos θ + b cos θ / cos θ अंश एवं हर में cos θ से भाग देने पर
= a tan θ – b / a tan θ + b = a x a/b – b / ax a/b + b
a2 – b2 / b = a2 + b2 / b = a2 – b2 / a2 + b2 ; Ans
प्रश्न- यदि x = a sin θ + b cos θ और y = a cos θ – b sin θ हो, तो सिद्ध करें कि x2 + y2 = a2 + b2
उत्तर– x = a sin θ + b cos θ, y = a cos θ -b sin θ
सिद्ध करना है – x2 + y2 = a2 + b2
L.H.S = x2 + y2 = (sin θ = b cos θ)2 + (a cos θ – b cos θ)2
= a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab sin θ · cos θ
+ a2 + cos2 θ + b2 sin2 θ – 2ab sin θ · cos θ
= a sin2 θ + b2 cos2 θ + a2 cos2 θ + b2 sin2 θ
= a2(sin2 θ + cos2 θ) + b2(cos2 θ + sin2 θ
= a2 × 1+ b2 × 1 [∴ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= a2 + b2 = R.H.S.; Proved.
प्रश्न- 25 + 28 + 31 + …+ 100 का योगफल ज्ञात करें ।
उत्तर– 25 + 28 + 31… + 100
यहाँ पर, a = 25, d = 28, – 25 = 3, Tn = 100, n = ?, Sn = ?
∴ Tn = a + 9n – 1)d
⇒ 100 = 25 + (n – 1)3
∴ n – 1 = 100 – 25 / 3 = 75 / 3 = 25
∴ n = 25 + 1 = 26
अब, Sn = n / 2 [2a + (n – 1)d]
∴ S26 = 26/2 [ 2 × 25 + (26 – 1)3] = 13[50 + 25 × 3]
= 13[50 + 75) = 13 × 125 = 1625
∴ S26 = 1625; Ans.
प्रश्न- सिद्ध करें कि sin6θ + cos6 θ + 3sin2 θ · cos2 θ = 1
उत्तर– L.H.S. = sin6 θ + cos6 θ + 3sin2 θ · cos2 θ
=(sin2 θ)3 + (cos2 θ)3 + 3sin2 θ cos2 θ(sin2 θ + cos2 θ)
[∴ sin2 θ + cos2 θ = 11]
=(sin2 θ + cos2 θ)3
[∴ a3 + b3 + 3ab (a + b)= (a + b)3
=(1)3 = 1, R.H.S.; Proved.
प्रश्न- दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश; 19cm एवं 9 cm है। उस वृत्त करें जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
उत्तर– माना कि r1 = 19 cm एवं r2 = 9 cm
माना कि तीसरे वृत्त की त्रिज्या R है।
प्रश्नानुसार, दिये गए दो वृत्तों की परिधियों का योगफल, तीसरे वृत्त की परिधि के बराबर है।
∴ 2πr1 + 2πr2 = 2πR
⇒ 2π (r1 + r2) = 2πR
⇒ r1 + r2 = R
⇒ 19cm + 9cm = R
∴ R = 28cm; Ans
प्रश्न- सविता और हमीदा दो मित्र हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों (i) के जन्म दिन भिन्न-भिन्न हों ? (ii) का जन्म दिन एक ही हो? (लीप के वर्ष को छोड़ते हुए)
उत्तर– (i) P (दोनों का जन्मदिन भिन्न-भिन्न है) = 365 – 1 / 365 = 364 / 365; Ans.
(ii) P (दोनों का जन्मदिन एक ही हो) = 1 – 364 / 365 = 1/365; Ans.
प्रश्न- दिखाएँ कि समीकरण निकाय 3x – 5y = 7 एवं 6x – 10y = 3 का कोई हल नहीं है।
उत्तर– दिया गया समीकरण निकाय है—
3x – 5y = 7 एवं 6x – 10y = 3
दिये गए समीकरणों को a1 x + b1 y + c1 = 0
एवं a2x + b2 y + c2 = 0 से तुलना करने पर,
a1 = 3, b1 = -5, c1 = -7
a2= 6, b2 = -10, c2 = -3
अब, a1 / a2 = 3/6 = 1/2, b1 / b2 = -5/-10 = 1/2 एवं c1 / c2 = -7/-3 = 7/3
स्पष्ट है कि a1 / a2 = b1 / b2 ≠ c1 / c2
अतः दिए गए समीकरणों के निकाय को कोई हल नहीं होगा।
प्रश्न- किसी वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, उस वृत्त के क्षेत्रफल का 7/20 गुणा है। त्रिज्यखंड के कोण का मान क्या होगा ?
उत्तर– माना कि वृत्त की त्रिज्या Rcm एवं त्रिज्यखंड का कोण θ है।
प्रश्नानुसार, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 7/20 x वृत्त का क्षेत्रफल
⇒ πR2θ/360 = 7/20 x πR2
⇒ 0/360° = 7/20
∴ 0 = 360° x 7 / 20 = 18 x 7 = 126°
अतः त्रिज्यखंड का कोण = 126°; Ans.
प्रश्न- किसी आँकड़े का बहुलक, उसके माध्य से 15 अधिक है, तो उसी आँकड़े का बहुलक, उसकी माध्यिका से कितना अधिक होगा ?
उत्तर– मान लिया कि दिये आँकड़े का माध्य = x
∴ प्रश्नानुसार, आँकड़े का बहुलक = x + 5
अब, चूँकि, बहुलक = 3 x माध्यिका – 2 x माध्य
⇒ (x + 15) = 3 x माध्यिका – 2x
⇒ x + 15 + 2x = 3 x माध्यिका
⇒ 3x + 15 = 3 x माध्यिका
:: माध्यिका = 3(x + 5) / 3 = x + 5
अब, बहुलक एवं माध्यिका का अन्तर
=(x + 15) – (x + 5) = x + 15 – x – 5 = 10
अतः दिये गए आँकड़े का बहुलक, उसी आँकड़े की माध्यिका से 10 अधिक है।
प्रश्न- यदि बहुपद (a2 +4)x2 +11ax + 4a का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो तो ‘a’ का मान ज्ञात करें।
उत्तर– माना कि f (x) =(a2 + 4) x2 + 11ax + 4a पुनः मानलिया कि इस बहुपद का एक शून्यक α है।
∴ प्रश्नानुसार, दूसरा शून्यक = 1 / α
∴ मूलों का गुणनफल = c / a
⇒ a x 1/a = 4a/a2 + 4 ⇒ 1 = 4a/ a2 + 4
⇒ a2 + 4 = 4a ⇒ a2 – 4a + 4 = 0
⇒ (a – 2)2 = 0 ⇒ a – 2 = 0
⇒ a = 2
अतः ‘a’ का अभीष्ट मान = ‘a’ Ans.
प्रश्न- एक मोटर वोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में और वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक समय लेती है। धारा की चाल ज्ञात करें।
उत्तर– मानलिया की धारा की चाल = x km/h
चूँकि शांत जल में नाव की चाल 18 km/h है।
∴धारा के अनुकूल नाव की चाल = ( 18 + x) km/h
तथा धारा के विपरीत नाव की चाल = (18 – x) km/h
अतः धारा के अनुकूल 24 km जाने में लगा समय = 24/18 – x घंटे
तथा धारा के विपरीत 24 km जाने में लगा समय = 24/18 – x घंटे
अब प्रश्नानुसार,
24/18 – x – 24/18 + x = 1
⇒ 24[18 + x – 18 + x] / (18 – x) (18 + x) = 1 ⇒ 24 x 2x / 324 – x2 = 1
⇒ 48x = 324 – x2
⇒ x2 + 48x – 324 = 0
⇒ x2 + 54x – 6x – 324 = 0
⇒ x(x + 54) -6 (x + 54) = 0
⇒ (x – 6) (x + 54) = 0
∴ x = 6 या x = 54 ( संभव नहीं है।)
अतः धारा की चाल = x km/h = 6 km/h: Ans.
प्रश्न- भूमि के एक बिन्दु 0 से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है एवं मीनार के शिखर पर स्थित एक ध्वजदण्ड के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि ध्वजदंड की लम्बाई 5m है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
उत्तर–
माना कि मीनार की ऊँचाई
BC = h मीटर
तथा OC = x मीटर
दिया गया है कि ध्वजदंड की
ऊँचाई = 5 मी
प्रश्नानुसार, ∠BOC = 30°
तथा ∠AOC = 60°
अब, समकोण ΔBOC में,
tan 30° = BC/OC = h/x
⇒ 1/√3 = h/x ∴ h = x/√3
अब , ΔAOC मे, tan60° = h + 5 / x = √3 = h + 5 / x
⇒ h + 5 = x√3 = h + 5 = √3h x √3
⇒ h + 5 = 3h = 3h – h = 5
⇒ 2h = 5 :: h = 5/2 = 2.5 m.
∴ मीनार की ऊँचाई = 2.5 मीटर; Ans.
प्रश्न- पानी से भरी हुई एक अर्द्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 37 लीटर प्रति सेकेण्ड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3 मीटर है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जायेगी ?
उत्तर– अर्द्धगोलाकार टंकी का व्यास = 3 मीटर
∴ त्रिज्या = 3/2मीटर
अर्द्धगोलाकार टंकी में पानी का आयतन = 2/3 πr3
= 2/3 x 22/7 x 3/2 x 3/2 x 3/2
= 11 x 3 x 3 / 2 x 7 = 99/14 = 7.07142मीटर3
∴ 1m3 = 1000 लीटर
∴ 7.07142m3 = 1000 x 7.07142 = 7071.42 लीटर
चूँकि पाईप द्वारा 1 सेकेण्ड में 3· 4/7 लीटर अर्थात् 25/7 लीटर पानी खाली होता है।
∴ 7071.42 लीटर पानी खाली करने में लगा समय
= 7071.42 / 2x 25/7 = 7071.42 x 7 / 2 x 25 = 990 सेकेण्ड
∴ 60 सेकेण्ड = 1मिनट
∴ 990 सेकेण्ड = 990/60 मिनट = 16.5 मिनट
= 16 मिनट 30 सेकेण्ड
आधी टंकी को खाली करने में लगा समय = 16 मिनट 30 सेकेण्ड; Ans.
प्रश्न- 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त की 8 सेमी लम्बी एक जीवा PO है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। TP की लम्बाई ज्ञात करें।
उत्तर– OT को मिलाया जो PQ को R पर काटता है।
∴ TP = TQ
(बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ
∴ ∠TQP = ∠TPQ
अब ΔTPR एवं ΔTQR में,
TP = TQ (स्पर्श रेखाएँ)
∠PTR = ∠QTR
(बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का झुकाव समान होता है।)
तथा TR=TR (उभयनिष्ठ)
∴ ΔTPR = ΔTQR
अतः PR = QR = PQ/2 = 8/2 = 4cm
एवं TRP = TRQ = 90°
माना कि TP = x तथा TR = y
ΔORP में OR = √OP2 – PR2 = √52 – 42
= √25 – 16 = √9 = 3cm.
∴ OT = 3 + y
अब, ΔTPR में,
TP2 = TR2 + PR2
x2 = y2 + 42 = y2 + 16
ΔTOP में, TP2 = OT2 – OP2
⇒ x2 = (3 + y)2 – 52 = (3 + y)2 – 25
अतः समीकरण (ii) एवं (iii) से,
y2 + 16 = 3 (3 + y)2 – 25
⇒ y2 + 16 = 9 + 6y + y2 – 25
⇒ 16 = 9+ 6y + – 25
⇒ 6y = 16 + 25 – 9 = 32
∴ y = 32/6 = 16/3
अब समीकरण (i) में y का मान रखने पर,
x2 = y2 + 16 = {16/3}2 + 16 = 256/9 + 16
⇒ x2 = 256 + 144 + / 9 = 400 / 9
∴ x = √400 / 9 = 20 / 3 cm
∴ TP = 20/3cm; Ans.
प्रश्न- ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90° है। AD तथा CE इसकी दो माध्यिकाएँ हैं। यदि AC = 5 cm तथा AD = 3√5/2 cm हो तो CE की लम्बाई ज्ञात करें ।
उत्तर–
ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90° है तथा AD एवं CE इसकी दो माध्यिकाएँ हैं।
AC = 5cm तथा AD = 3√5 / 2 cm.
CE की लम्बाई ज्ञात करनी है।
मानलिया कि AB = 2x, तथा BC = 2 y
चूँकि E एवं D क्रमश: AB तथा BC के मध्यबिन्दु हैं,
∴ AE = EB = x तथा BD = DC = y
अब समकोण ΔABC में,
AB2 + BC2 = AC2
⇒ (2x)2 + (2y)2 = (5)2
⇒ 4x2 + 4y2 = 25
⇒ x2 + y2 = 25/4
∴ ABD में,
AB2 + BD2 = AD2
⇒ (2x)2 + y2 = {3√5/2}2
⇒ 4x2 + y2 = 45/4
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,
3x2 = 45/4 – 25/4 = 20/4 = 5 ∴ x2 = 5/3
समीकरण (i) में x2 का मान रखने पर,
x2 + y2 = 25/4
⇒ 5/3 + y2 = 25/4 ∴ y2 = 25/4 – 5/3 = 75 – 20 / 12 = 55/12
अब ΔAEC में,
CE2 = EB2 + BC2
= x2 + (2y)2 = x2 + 4y2
= 5/3 + 4 x 55/12 = 5/3 + 55/3
CE2 = 5 + 55 / 3 = 60/3 = 20
∴ CE = √20 = 2√5 cm; Ans.
प्रश्न- यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योगफल q है तथा प्रथम q पदों का योगफल p है। सिद्ध करें कि इसके प्रथम (p + q) पदों का योगफल – (p + q) होगा
उत्तर– माना कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद = a तथा सार्वअन्तर = d
∴ p पदों का योगफल q है।
∴ Sp = q ⇒ P/2 [2a +(p – 1)d]= q
एवं Sq = p = q/2 [2a + (q – 1)d]= p
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
P/2 [2a + (p – 1)d] – q/2 [2a + (2 – 1)d] = q – p
⇒ pa + p/2 (p – 1)d] – qa – q/2 (q – 1)= q – p
⇒ a(p – q) + d/2 [p2 – p – q2 + q] = q – p
⇒ a(p – q) + d/2 [(p + q) (p – q) – (p + q) = q – p
⇒ (p – q) + d/2 (p – q – 1) = q – p
⇒ a + d/2 (p – q -1) = -1
⇒ 2a + (p – q -10d / 2 = -1
⇒ 2a + (p – q – 1)d = -2
अतः Sp + q = p + q / 2 [2a + 9p – q – 1)d]
= p + q / 2 × (-2) = -(p + q); Proved.
प्रश्न- 2.5cm की त्रिज्या खींचें। वृत्त केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचें।
उत्तर– रचना के चरण—
(i) बिन्दु ‘O’ को केन्द्र मानकर 2.5cm की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा।
(ii) O से P तक एक रेखा इस प्रकार खींचा कि OP = 7 cm.
(iii) OP का लम्ब समद्विभाजक बिन्दु M प्राप्त किया।
(iv) अब M को केन्द्र तथा OM को त्रिज्या लेते हुए एक वृत्त खींचा जो दिये गए वृत्त को Q एवं R पर काटता है।
(v) PQ एवं PR को मिलाया।
(vi) इस प्रकार PQ एवं PR, बाह्यबिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रश्न- नीचे दिए गए समीकरण युग्मों को ग्राफीय विधि से हल करें।
4x – 5y – 20 = 0
3x + 5y – 15 – 0
इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाओं तथा y-अक्ष के बीच बने त्रिभुज के शीर्ष बिन्दुओं के निर्देशांकों को लिखें। उन बिन्दुओं के निर्देशांकों को भी लिखें जहाँ ये रेखाएँ y- अक्ष को परिच्छेद करती हैं।
उत्तर– एक ही ग्राफ पेपर पर x – अक्ष एवं y – अक्ष के रूप में क्रमश: एक क्षैतिज रेखा XOX’ एवं एक उदग्र रेखा XOY’ खींचा।
समीकरण 4x – 5y – 20 = 0 का आलेख —
चूँकि 4x – 5y – 20 = ∴ y = 4x – 20/5
मान सारिणी
| x | 0 | 5 | -5 |
| y | -4 | 0 | -8 |
समीकरण 3x + 5y – 15 = 0 का आलेख—
चूँकि 3x + 5y – 15 = 0 ∴ y =
मान सारिणी
| x | 0 | 5 | -5 |
| y | 3 | 0 | 6 |
अतः x = 5, y = 0 दिए गए समीकरणों का अभीष्ट हल होगा।
इन रेखाओं एवं y – अक्ष के बीच बने ΔPQA या ΔPBA के शीर्ष बिन्दुओं के निर्देशांक P(0, – 4), Q या B (5, 0) तथा A(0, 3) है।
हमसे जुड़ें, हमें फॉलो करे ..
- Telegram ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Facebook पर फॉलो करे – Click Here
- Facebook ग्रुप ज्वाइन करे – Click Here
- Google News ज्वाइन करे – Click Here